Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, Grüß Gott zusammen.

Wir hatten uns letztes Mal damit beschäftigt, welche Auswirkungen verschiedene Normen auf

Räume haben können.

Ist das wesentlich oder nicht wesentlich?

Das heißt, sind die Konvergenzbegriffe unterschiedlich oder nicht unterschiedlich?

Wir haben gesehen, auf endlich-dimensionalen Räumen sind alle Normen äquivalent.

Das heißt, erzeugen die gleichen Konvergenzbegriffe die gleiche Topologie.

Das heißt also, im endlich-dimensionalen können wir da beliebig hin und her wechseln, müssen

aber darauf gefasst sein, dass wenn wir in einem endimensionalen Raum sind, dieses N

irgendwie in den Abschätzungskonstanten zwischen den Normen auftaucht.

Wo wir typischerweise nicht diesen Grenzprozess endgegen und endlich machen können, weil

auf der anderen Seite im unendlich-dimensionalen Fall, sozusagen typischerweise im Funktionenraumfall,

die Normen, die wir da schon kennengelernt haben und die alle aus ihren Sinnen da haben

und eben tatsächlich dann da, wie wir jetzt gesehen haben, unterschiedliches beschreiben.

Also ein Unterschied zwischen der unendlichen und einer P-Norm, P kleiner und endlicher.

Also gleichmäßige Konvergenz ist etwas anderes, ist etwas echt stärkeres als Konvergenz im

Mittel.

Gut, führen wir noch ein paar Bezeichnungen ein.

Wir haben ja gesehen, die Menge der linearstätigen Abbildungen bilden auch einen Unterraum im

Raum der Homomorphismen und denen geben wir jetzt einen Namen, die nennen wir jetzt L

, Vw, wenn wir die beiden normierten Räume V und W über K betrachten.

Das sollen also genau die Homomorphismen sein, die beschränkt sind.

Beschränktheit ist ja Äquivalent zur Stetigkeit oder Stetigkeit an einer Stelle im linearen

Fall.

Nachdem, was ich gerade gesagt habe, ist also dieser Raum identisch mit dem Raum der Homomorphismen

im endlichdimensionalen und im unendlichdimensionalen im Allgemeinen nicht.

Und die Spezialisierung ist jetzt nicht der Raum, ist der Raum dann der Linearformen.

Das heißt also, wir betrachten dann als Bildraum den Skalankörper selbst.

Da haben wir auf der einen Seite unseren alten Raum V, Stern, den Dualraum, wobei wir jetzt

hier besser sagen, ab demnächst den algebraischen Dualraum, weil wir jetzt auch noch den Raum

V-Strich einführen.

Das sind also jetzt die linear-stetigen Funktionale von V nach K oder linear-beschränkten.

Also zwischen den Begrifflichkeiten stetig und beschränkt kann man beliebig hin und her

gehen.

Das werde ich auch wahrscheinlich dann auch machen.

Das, was ich gesagt habe, steht jetzt genau nochmal da, das heißt im Allgemeinen ist

V-Strich zum Beispiel der topologische Dualraum, ein echter Teilraum des algebraischen Dualraums

und nur im endlichdimensionalen haben wir hier die Gleichheit.

Gut, jetzt kommt ein weiter wesentlicher Begriff hier ins Spiel, den Sie schon aus der Analysis

kennen, der überhaupt der Grund ist, weshalb wir Analysis auf R machen oder warum wir R

für sinnvolle Grundkörper von Zahlen ansehen im Gegensatz von Q, nämlich die Vollständigkeit.

Was der Q nicht hat ist, dass es den Q durchaus Cauchy-Folgen geben kann, die eben keine Grenzwerte

in Q besitzen, das heißt in diesem Sinne besitzt Q Löcher.

Wir haben Folgen, die gehen beliebig dicht zusammen, sollten eigentlich konvergieren,

aber da ist nichts da, wogegen es konvergieren kann, da ist keine Wurzel 2.

Und genau diese Begrifflichkeit benutzen wir jetzt abstrakt im Vektoraum, in der Vektoraumsituation,

das heißt also, man kann ja diese Begriffe allgemein formulieren, sobald man überhaupt

nur Convergenz und Cauchy-Folgen hat, das heißt also man kann die zumindest für metrische

Räume formulieren im Begriff der Vollständigkeit und insbesondere auch für normierte Räume,